Cinematica

Cinemática

La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas. La velocidad(la tasa de variación de la posición) se define como la razón entre el espacio recorrido (desde la posición x1 hasta la posición x2) y el tiempo transcurrido.

v = e/t (1)

siendo:

e: el espacio recorrido y

T: el tiempo transcurrido.

La ecuación (1) corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme, donde la velocidad permanece constante en toda la trayectoria.

Aceleración

Se define como aceleración a la variación de la velocidad con respecto al tiempo. La aceleración es la tasa de variación de la velocidad, el cambio de la velocidad dividido entre el tiempo en que se produce. Por tanto, la aceleración tiene magnitud, dirección y sentido, y se mide en m/s², gráficamente se representa con un vector.

a = v/t

Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)

Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en el que la velocidad es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en el intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la velocidad en cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la distancia e recorrida a velocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo. En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.

v = e/t

v = constante

a = 0

Movimiento uniformemente variado (M.U.V.)

Otro tipo especial de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la velocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instante determinado. En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicial nula (v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrido el tiempo t será:

v = a.t

La distancia recorrida durante ese tiempo será

e = ½.a.t²

Esta ecuación muestra una característica importante: La distancia depende del cuadrado del tiempo (t²). En el movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es distinta de cero y constante.

a ≠ 0 = constante

v = variable

1) Acelerado: a > 0

xf = xo + vo.t + ½.a.t² (Ecuación de posición)

vf = vo + a.t (Ecuación de velocidad)

vf² = vo² + 2.a.Δx

2) Retardado: a < 0

xf = xo + vo.t - ½.a.t² (Ecuación de posición)

vf = vo - a.t (Ecuación de velocidad)

vf² = vo² - 2.a.Δx

Tiro vertical

Movimiento uniformemente variado, donde la aceleración es la de la gravedad y la dirección del movimiento puede ser ascendente o descendente, sin influencia de la fricción con el aire.

a = g

v0 ≠ 0

Este movimiento siempre tiene velocidad inicial distinta de cero, sea lanzado hacia arriba o hacia abajo.

Las ecuaciones para éste movimiento son:

1)	yf = y0 + v0.t + ½.g.t²	Ecuación de posición
2)	vf = v0 + g.t	Ecuación de velocidad
3)	vf² = v0² + 2.g.Δy

Altura Máxima: El único instante donde la velocidad es nula es cuando alcanza la altura máxima, si el objeto o móvil fue lanzado hacia arriba. Es el punto donde el objeto se detiene y comienza el descenso.

Ecuaciones para el caso de calcular la altura máxima:

1)	y Máxima = y0 + v0.t + ½.g.t²	Ecuación de posición
2)	0 = v0 + g.t	Ecuación de velocidad
3)	0 = v0² + 2.g.Δy

Velocidad Inicial: Una particularidad del tiro vertical es que un objeto lanzado hacia arriba con una determinada velocidad inicial, al regreso y pasando por el mismo punto de partida, posee el mismo valor de velocidad pero con sentido contrario al del lanzamiento.

El valor de la aceleración de la gravedad depende del paralelo (latitud) en que se determine dicho valor. En el ecuador (latitud = 0) la aceleración es igual a “9,78049 m/s²”, la aceleración promedio es de 9,81 m/s², resulta práctico usar un valor de 10 m/s² para agilizar la resolución de ejercicios.

Ejes convenientes para graficar el movimiento:

Orientación de los vectores y selección de los signos de las variables según la dirección del movimiento:

Lanzamiento hacia ...	Velocidad inicial		Aceleración (g)
	Vector	Signo	Vector	Signo
Arriba	↑	+	↓	-
Abajo	↓	-	↓	-

Estos signos se deben aplicar cuando se reemplazan las variables por sus valores.

Nota: si la velocidad inicial es nula (v0 = 0) se trata de “Caída Libre”.

Caída libre

Movimiento uniformemente variado, donde la aceleración es la de la gravedad y la dirección del movimiento sólo puede ser descendente. Se trata de un caso particular del movimiento de “Tiro Vertical”, donde la velocidad inicial siempre es nula.

a = g

v0 = 0

Recordar que el valor de la aceleración de la gravedad depende del paralelo (latitud) en que se determine dicho valor. En el ecuador (latitud = 0) la aceleración es igual a “9,78049 m/s²”, la aceleración promedio es de 9,81 m/s², es usual usar un valor de 10 m/s² para agilizar la resolución de ejercicios.

Las ecuaciones para éste movimiento son:

1)	yf = y0 + ½.g.t²	Ecuación de posición
2)	vf = g.t	Ecuación de velocidad
3)	vf² = 2.g.Δy

Ejes convenientes para graficar el movimiento:

Orientación de los vectores y selección de los signos de las variables según la dirección del movimiento:

	Velocidad final		Aceleración (g)
	Vector	Signo	Vector	Signo
Lanzamiento hacia abajo	↓	-	↓	-

Estos signos se deben aplicar cuando se reemplazan las variables por sus valores. Dado que la velocidad final y la aceleración (en éste movimiento) siempre tienen el mismo sentido, se pueden emplear signos positivos en ambas variables.

Para ilustrar el caso, un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la fricción con el aire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleración constante, observar que no se toma en cuenta la masa del objeto. Si, en este caso, la aceleración promedio es de 9,8 m/s²; al final del primer segundo, el objeto, habría caído 4,9 m y tendría una velocidad de 9,8 m/s; al final del siguiente segundo, la pelota habría caído 19,6 m y tendría una velocidad de 19,6 m/s.

Tiro parabólico

Se trata de un “movimiento rectilíneo uniforme” en su desarrollo horizontal y un “movimiento uniformemente variado” en su desarrollo vertical. En el eje vertical se comporta como el movimiento de “Tiro vertical”.

Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola.

Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes "x" e "y", en el eje "y" se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje "x" como M.R.U.

Características de las componentes según los ejes:

Eje	v	a
x	constante	0
y	9,81 m/s²	g

Ecuaciones del movimiento según los ejes:

Eje "x" (MRU)				Eje "y" (MUV)
1)	v = Δx/t	Ecuación de velocidad		1)	yf = y0 + v0.t + ½.g.t²	Ecuación de posición
				2)	vf = v0 + g.t	Ecuación de velocidad
				3)	vf² = v0² + 2.g.Δy

Ecuaciones de la trayectoria:

Posición	x = (v0.cos θ0).t y = (v0.sen θ0).t - ½.g.t²
Velocidad	vx = v0.cos θ0 vy = v0.sen θ0 - g.t

Altura máxima: como se explicó anteriormente, el comportamiento en el eje “y” es el característico del “Tiro vertical”, por lo tanto, para el cálculo de la altura máxima se emplean las mismas ecuaciones.

1)	y Máxima = y0 + v0.t + ½.g.t²	Ecuación de posición
2)	0 = v0 + g.t	Ecuación de velocidad
3)	0 = v0² + 2.g.Δy

Recordar que el valor de la aceleración de la gravedad depende del paralelo (latitud) en que se determine dicho valor. En el ecuador (latitud = 0) la aceleración es igual a “9,78049 m/s²”, la aceleración promedio es de 9,81 m/s², es usual usar un valor de 10 m/s² para agilizar la resolución de ejercicios.

Tiro obliculo. Cinemática. AP07

Por Ricardo Santiago Netto

Contenido: Tiro obliculo. Velocidad, espacio y aceleración de la gravedad. Cálculo de velocidad y desplazamiento. Componente horizontal.

Tiro oblicuo

Se trata de una particularidad del "Tiro parabólico", por lo tanto es un “movimiento rectilíneo uniforme” en su desarrollo horizontal y un “movimiento uniformemente variado” en su desarrollo vertical. Pero, en el eje vertical se comporta como el movimiento de “Caída Libre”.

Como ejemplo, se impulsa una canica sobre la superficie de una mesa, desde el momento en que la canica abandona la mesa para caer al suelo describirá la trayectoria de un “tiro oblicuo”.

En este movimiento la velocidad tiene componentes en los ejes "x" e "y", mientras que en el eje "y" la velocidad inicial es nula.

Características de las componentes según los ejes:

Eje	v	a
x	constante	0
y	9,81 m/s²	g

Ecuaciones del movimiento según los ejes:

Eje "x" (MRU)				Eje "y" (MUV)
1)	v = Δx/t	Ecuación de velocidad		1)	yf = y0 + ½.g.t²	Ecuación de posición
				2)	vf = g.t	Ecuación de velocidad
				3)	vf² = 2.g.Δy

Recordar que el valor de la aceleración de la gravedad depende del paralelo (latitud) en que se determine dicho valor. En el ecuador (latitud = 0) la aceleración es igual a “9,78049 m/s²”, la aceleración promedio es de 9,81 m/s², es usual usar un valor de 10 m/s² para agilizar la resolución de ejercicios.

Problemas de cinemática: resueltos

Problema n° 1) Un móvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25 s, y recorre una distancia de 400 m hasta detenerse. Determinar:

a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?

b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

Desarrollo

Datos:

t = 25 s

x = 400 m

vf = 0 m/s

Fórmulas:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t²/2

Solución

a) De la ecuación (1):

vf = v0 + a.t
0 = v0 + a.t
a = -v0/t (3)

Reemplazando (3) en (2):

x = v0.t + a.t²/2
x = v0.t + (-v0/t).t²/2

x = v0.t - v0.t/2
x = v0.t/2
v0 = 2.x/t

vf = 2.(400 m)/(25 s)
vf = 32 m/s

b) Con éste dato aplicamos nuevamente la ecuación (1):

a = (-32 m/s)/(25 s)
a = -1,28 m/s²

Problema n° 2) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s², determinar:

a) ¿Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento?

b) ¿Qué distancia habrá recorrido en ese lapso?

Desarrollo

Datos:

a = 3 m/s²

t = 8 s

v0 = 0 m/s

Fórmulas:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t²/2

Solución

a) De la ecuación (1):

vf = (3 m/s²).(8 s)
vf = 24 m/s

b) De la ecuación (2):

x = (3 m/s²).(8 s)²/2

Problema n° 3) Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 120 km/h, demora 10 s en detenerse. Calcular:

a) ¿Qué espacio necesitó para detenerse?

b) ¿Con qué velocidad chocaría a otro vehículo ubicado a 30 m del lugar donde aplicó los frenos?

Desarrollo

Datos:

v0 = 120 km/h = (120 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 33,33 m/s

vf = 0 km/h = 0 m/s

t = 10 s

Fórmulas:

(1) vf = v0 + a.t

(2) x = v0.t + a.t²/2

Solución

a) De la ecuación (1):

vf = v0 + a.t
0 = v0 + a.t
a = -v0/t

a = (-33,33 m/s)/(10 s)
a = -3,33 m/s²

Con éste dato aplicamos la ecuación (2):

x = (33,33 m/s).(10 s) + (-3,33 m/s²).(10 s)²/2 ⇒x = 166,83 m

b) Para x2 = 30 m y con la aceleración anterior, conviene aplicar la ecuación opcional:

vf² - v0² = 2.a.x
vf² = v0² + 2.a.x
vf² = (33,33 m/s)² + 2.(-3,33 m/s²).(30 m)

vf = 30,18 m/s
vf = 106,66 km/h

x = 96 

Problema n° 4) Sale un avión de A hacia B con una velocidad constante de 500 km/h, al mismo tiempo otro avión con la misma dirección pero en sentido contrario despega con velocidad constante de 300 km/h. Si los puntos A y B están separados 1000 km, calcular:

a) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse?

b) ¿A qué distancia de A lo lograrán?

Desarrollo

Datos:

v A = 500 km/h

v B = 300 km/h

d = 1000 km

Fórmulas:

v A = d A/t A (1)

v B = d B/t B (2)

Solución

Como parten en el mismo instante el tiempo de encuentro es igual para ambos:

t EA = t EB = t E (3)

No así con la distancia:

d EA + d EB = d (4)

Pero:

d A = d B = d

Las ecuaciones (1) y (2) quedan:

v A = d EA/t E (5)

v B = d EB/t E (6)

De (4):

d EA = d - d EB (7)

Reemplazando (7) en (5):

v A = (d - d EB)/t E (5)

v B = d EB/t E (6)

Despejando de ambas t E:

t E = (d - d EB)/v A (8)

t E = d EB/v B (9)

Igualando (8) y (9):

(d - d EB)/v A = d EB/v B

d.v B - d EB.v B = d EB.v A

d.v B = d EB.v B + d EB.v A

d.v B = d EB.(v B + v A)

d EB = d.v B/(v B + v A)

d EB = (1000 km).(300 km/h)/(300 km/h + 500 km/h)
d EB = 375 km (de B)

Empleando la ecuación (7):

d EA = 1000 km - 375 km
d EA = 625 km (respuesta b)

Empleando la ecuación (9):

t E = (375 km)/(300 km/h)
t E = 1,25 h
t E = 1 h 15 min (respuesta a)

Problema n° 5) Un niño dispara una piedra con una honda, verticalmente hacia arriba, desde la planta baja de un edificio. Un amigo ubicado en el piso 7 (21 m), ve pasar la piedra con una velocidad de 3 m/s. Calcular:

a) ¿A qué altura llega la piedra respecto del suelo?

b) ¿Qué velocidad tendrá la piedra al segundo de haber sido lanzada?

c) ¿Cuánto tardará en llegar desde el 7° piso a la altura máxima?

Usar g = 10 m/s².

Desarrollo

Datos:

v0 = 3 m/s

h = 21 m

t = 1 s

Fórmulas:

(1) vf = v0 + g.t

(2) y = v0.t + g.t²/2

(3) vf² - v0² = 2.g.h

Solución

a) Para la altura máxima vf = 0, de la ecuación (3):

-v0² = 2.g.h
h máx = -v0²/(2.g)
h máx = -(3 m/s)²/[2.(-10 m/s²)]
h máx = 0,45 m

Luego la altura total es:

hT = 21 m + 0,45 m
h = 21,45 m

b) Para esto calculamos primero la velocidad inicial mediante la ecuación (3):

v0² = -2.g.h
v0² = -2.(-10 m/s²).(21,45 m)
v0 = 20,71 m/s

Con éste dato y la ecuación (1):

vf = 20,71 m/s + (-10 m/s²).(1 s)
vf = 10,71 m/s

c) De la ecuación (1) y para vf = 0:

t = -v0/g
t = -(3 m/s)/(-10 m/s²)
t = 0,3 s

Problema n° 6) Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 s en llegar al suelo. Calcular:

a) A qué altura estaría esa terraza.

b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso.

Usar g = 10 m/s².

Desarrollo

Datos:

t = 6 s

Fórmulas:

1) Δh = g.t²/2

2) Vf = g.t

Solución

a)

De la ecuación (1):

Δh = (10 m/s²).(6 s)²/2

Δh = 180 m

b)

De la ecuación (2):

Vf = (10 m/s²).(6 s)

Vf = 60 m/s

Problema n° 7) Se dispara un proyectil con un cañón que forma un ángulo de 60° con respecto a la horizontal, si la velocidad del proyectil al momento de dejar la boca del cañón es de 400 m/s.

¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil? (g = 10 m/s²)

Desarrollo

Datos:

α = 60°

v = 400 m/s

g = 10 m/s²

Fórmulas:

(1) vf² = v0² + 2.g.Δy

Solución

Como gráfico tenemos:

Primero calculamos la componente vertical de la velocidad (vy):

sen α = vy/v

vy = v.sen α

vy = (400 m/s).sen 60°

vy = (400 m/s).0,866

vy = 346,41 m/s

En el tiro parabólico, el movimiento sobre el eje “y” es igual que en el “Tiro vertical”, y valen todas sus ecuaciones.

Para calcular la altura máxima, debemos considerar que ocurre cuando la velocidad en “y” se hace “cero”, es decir que la velocidad final será cero:

vf = 0 m/s

La velocidad inicial es la calculada anteriormente (vy = 346,41 m/s).

Podemos aplicar la fórmula (para el eje “y”):

vf² = v0² + 2.g.Δy

0² = v0² + 2.g.Δy

-v0² = 2.g.Δy

Δy = -v0²/2.g

Δy = -(346,41 m/s)²/[2.(-10 m/s²)]

Δy = 6000 m